Bellezza regolare
schenk Dir selbst einen Stern
Geregelte Schönheit, Malen nach Zahlen.
Das Bild, auf dem Sie diese Webaddresse gefunden haben, mag Ihnen unglaublich schön erscheinen, als das Produkt eines brillianten und kreativen Geistes, wie zum Beispiel des meinigen. Leider ist es das aber nicht. Es ist Gottes Schöpfung, wenn Sie an ihn oder sie glauben. Wenn nicht, ist es das Produkt der reinsten aller Wissenschaften, der Mathematik, sehr einfacher Mathematik.
Die Regel. die das Bild und Myriaden anderer generiert, lautet:
Z(n+1) = Z(n) Z(n) + Z(0)
Das sieht nicht sehr vielversprechend aus, meinen Sie? Eine Regel , mit der man aus einer vorangegangene eine weitere Zahl erzeugt. Beginne, mit einer Zahl, multiplizier sie mit sich selbst und addiere die ursprüngliche dazu:
1 -> 1*1+1=3 -> 3*3+1=10 -> 10*10+1=101 -> 10202 .... und wir entschwinden in die Unendlichkeit und zwar ziemlich schnell
Aber entschwinden wir immer? Probieren wir es mit -1
-1 -> (-1)(-1)+(-1)=0 -> 0*0+(-1)=-1 -> 0 ... und wir pendeln für immer und ewig zwischen 0 und -1.
Für welche Anfangszahlen geht die Reihe gegen unendlich? Für welche pendelt sie und für welche nähert sie sich einem fixen und endlichen Wert?
Genau diese Frage stellte sich Herr Mandelbrot. Nicht nur für die Zahlen auf der Geraden zwischen Minus-Unendlich und Plus-Unendlich sondern für alle Zahlen in der Ebene. Jeder Punkt in der Ebene wird durch durch eine komplexe Zahl, also eigentlich zwei Zahlen bestimmt, den vertikalen und horizontalen Abständen vom Mittelpunkt des Universums. Mathematiker nennen so was kartesische Koordinaten in der komplexen Ebene, aber das können Sie ignorieren. Es ist nur eine Ebene und zwar die auf der sich dieses Bild befindet.
Mandbrot kam zu keiner Antwort, sehr zu seinem Missfallen. Drum tat er statt Nachdenken das, was ansonsten Kinder tun: Ausprobieren. Damals in den 80ern des vorigen Jahrhundert gab es schon Computer. Für jeden Punkt der Ebene probierte er aus - am Computer - ob die Reihe explodieren würde oder schön brav ruhig bleiben würde. Weil er ein ausgebildeter Mathematiker war, und kein Kind, dachte er wenigstens ein Kleinwenig nach und erkannte, dass wenn die Reihe einmal den Wert von 2 überschreiten würde, sie unwiederbringlich explodieren müsste. Drum probierte er für jeden Punkt in der Ebene aus, wie oft er eine neue Zahl generieren müsse, bis sie endlich die 2 überschreite. Für manche, wie die -1, musste er aufgeben, bei den anderen zählte er die Wiederholungen, und verwendete diese Zahl der Wiederholungen um die Farbe des Punktes in der Ebene zu bestimmen.
Er hoffte auf ein einfaches Ergebnis, da ja auch die Erzeugungsregel recht banal war, zumindest für einen gelernten Mathematiker. An diesem erhofft einfachen, bildlichen Ergebnis hoffte er eine Idee zu bekommen in welche Richtung sein Beweis für ein einfaches Kriterium gehen solle. Leider aber hatte er kein Glück. Er bekam ein Bild wie jenes vor dem Sie stehen, das offensichtliche Ergebnis eines Chaos. Ein schönes Chaos aus einer einfachen Ordnung.
Genau genommen hatte er Glück. Das unerwartete, nur unter einem mathematischen Gesichtspunkt unbefriedigende Ergebnis war schön genug um ihn berühmt zu machen. Er wäre mit der Erkenntnis, dass die Reihe für alle komplexen Zahlen mit einem Betrag oder einer EWurzel oder was auch immer zwischen -2 und 0 beschränkt bleibt, kaum berühmt geworden. Höchstens für eine Randbemerkung in irgendwelchen mathematischen und auch sonst obskuren Chroniken hätte das gereicht.
Diese Bilder sind nicht nur schön. Sie lassen uns grübeln. Wie kommt es, dass eine Addition und eine Multiplikation so ein Chaos hervorrufen? Warum finden wir dieses Chaos schön? Ist Schönheit objektiv beschreibbar? Steckt hinter jedem schönen und/oder unappettlichen Chaos, zum Beispiel meinem Büro, eine einfache mathematische Regel? Warum sollten wir weiterhin versuchen kreativ zu sein? Wo alles was unserem Geiste entspringen könnte nicht im entferntesten an das Ergebnis einer simplen Multiplikation und Addition herankommen könnte? Also hören wir auf zu schreiben, zu malen, zu singen und zu komponieren, es bringt ohnehin nix!
Ich habe keine Antworten für Sie. Auch Mandelbrot hatte keine. Schauen Sie einfach auf das Bild und meditieren Sie. Wenn Sie wollen, laden Sie sich einen Mandelbrot-Figuren generator auf Ihren PC, wenn Sie einen haben, ansonsten auf Ihr Tablett, Ihr Handy oder ihren iToaster, Ihren Fernseher und verbringen Sie Stunden damit. Mit einem einfachen Fingerspreizen oder einem Mausklick können Sie in jeden Winkel hineinzoomen und immer neue sich an und ab selbstähnlichen Strukturen entdecken, und dann wieder vollkommene Überraschungen.
All diese Bilder sind vollkommen gratis. Keine Tantiemen, Gott verlangt keine Tantiemen für sein Universum. Sie können es als Hintergrundbild auf Ihrem PC verwenden, auf Ihrer Homepage, oder auf eine Leinwand drucken lassen oder auf Ihr Bettzeug, Ihr T-Shirt, Ihr Kaffeehäferl oder Ihr Auto.
Wenn Sie im Umgang mit Computern und Online-Druckereien keine Erfahrung haben, schicken Sie mir hier im Formular unten eine Nachricht, ich kann Ihnen helfen, vergessen Sie ihre E-mail-Adresse nicht. Es wird Sie nichts außer die Produktionskosten bei der Firma Ihrer Wahl kosten. Gott verlangt wie gesagt keine Tantiemen oder Provision, ich auch nicht. Sie können das ersparte Geld für den Picasso einer karitativen Einrichtung Ihrer Wahl oder meiner Wahl spenden.
Sie sind zwar nicht der Schöpfer dieser Schönheit, das ist Gott oder die Mathematik oder sonstwer oder was; weder Sie, noch ich noch Mandelbrot. Es sind aber Sie, der das einzigartige Design unter Myriaden von Mandelbrotmustern gewählt hat. Es gehört Ihnen, ganz persönlich, so wie ein nach Ihnen benannter Stern.
Das Bild, auf dem Sie diese Webaddresse gefunden haben, mag Ihnen unglaublich schön erscheinen, als das Produkt eines brillianten und kreativen Geistes, wie zum Beispiel des meinigen. Leider ist es das aber nicht. Es ist Gottes Schöpfung, wenn Sie an ihn oder sie glauben. Wenn nicht, ist es das Produkt der reinsten aller Wissenschaften, der Mathematik, sehr einfacher Mathematik.
Die Regel. die das Bild und Myriaden anderer generiert, lautet:
Z(n+1) = Z(n) Z(n) + Z(0)
Das sieht nicht sehr vielversprechend aus, meinen Sie? Eine Regel , mit der man aus einer vorangegangene eine weitere Zahl erzeugt. Beginne, mit einer Zahl, multiplizier sie mit sich selbst und addiere die ursprüngliche dazu:
1 -> 1*1+1=3 -> 3*3+1=10 -> 10*10+1=101 -> 10202 .... und wir entschwinden in die Unendlichkeit und zwar ziemlich schnell
Aber entschwinden wir immer? Probieren wir es mit -1
-1 -> (-1)(-1)+(-1)=0 -> 0*0+(-1)=-1 -> 0 ... und wir pendeln für immer und ewig zwischen 0 und -1.
Für welche Anfangszahlen geht die Reihe gegen unendlich? Für welche pendelt sie und für welche nähert sie sich einem fixen und endlichen Wert?
Genau diese Frage stellte sich Herr Mandelbrot. Nicht nur für die Zahlen auf der Geraden zwischen Minus-Unendlich und Plus-Unendlich sondern für alle Zahlen in der Ebene. Jeder Punkt in der Ebene wird durch durch eine komplexe Zahl, also eigentlich zwei Zahlen bestimmt, den vertikalen und horizontalen Abständen vom Mittelpunkt des Universums. Mathematiker nennen so was kartesische Koordinaten in der komplexen Ebene, aber das können Sie ignorieren. Es ist nur eine Ebene und zwar die auf der sich dieses Bild befindet.
Mandbrot kam zu keiner Antwort, sehr zu seinem Missfallen. Drum tat er statt Nachdenken das, was ansonsten Kinder tun: Ausprobieren. Damals in den 80ern des vorigen Jahrhundert gab es schon Computer. Für jeden Punkt der Ebene probierte er aus - am Computer - ob die Reihe explodieren würde oder schön brav ruhig bleiben würde. Weil er ein ausgebildeter Mathematiker war, und kein Kind, dachte er wenigstens ein Kleinwenig nach und erkannte, dass wenn die Reihe einmal den Wert von 2 überschreiten würde, sie unwiederbringlich explodieren müsste. Drum probierte er für jeden Punkt in der Ebene aus, wie oft er eine neue Zahl generieren müsse, bis sie endlich die 2 überschreite. Für manche, wie die -1, musste er aufgeben, bei den anderen zählte er die Wiederholungen, und verwendete diese Zahl der Wiederholungen um die Farbe des Punktes in der Ebene zu bestimmen.
Er hoffte auf ein einfaches Ergebnis, da ja auch die Erzeugungsregel recht banal war, zumindest für einen gelernten Mathematiker. An diesem erhofft einfachen, bildlichen Ergebnis hoffte er eine Idee zu bekommen in welche Richtung sein Beweis für ein einfaches Kriterium gehen solle. Leider aber hatte er kein Glück. Er bekam ein Bild wie jenes vor dem Sie stehen, das offensichtliche Ergebnis eines Chaos. Ein schönes Chaos aus einer einfachen Ordnung.
Genau genommen hatte er Glück. Das unerwartete, nur unter einem mathematischen Gesichtspunkt unbefriedigende Ergebnis war schön genug um ihn berühmt zu machen. Er wäre mit der Erkenntnis, dass die Reihe für alle komplexen Zahlen mit einem Betrag oder einer EWurzel oder was auch immer zwischen -2 und 0 beschränkt bleibt, kaum berühmt geworden. Höchstens für eine Randbemerkung in irgendwelchen mathematischen und auch sonst obskuren Chroniken hätte das gereicht.
Diese Bilder sind nicht nur schön. Sie lassen uns grübeln. Wie kommt es, dass eine Addition und eine Multiplikation so ein Chaos hervorrufen? Warum finden wir dieses Chaos schön? Ist Schönheit objektiv beschreibbar? Steckt hinter jedem schönen und/oder unappettlichen Chaos, zum Beispiel meinem Büro, eine einfache mathematische Regel? Warum sollten wir weiterhin versuchen kreativ zu sein? Wo alles was unserem Geiste entspringen könnte nicht im entferntesten an das Ergebnis einer simplen Multiplikation und Addition herankommen könnte? Also hören wir auf zu schreiben, zu malen, zu singen und zu komponieren, es bringt ohnehin nix!
Ich habe keine Antworten für Sie. Auch Mandelbrot hatte keine. Schauen Sie einfach auf das Bild und meditieren Sie. Wenn Sie wollen, laden Sie sich einen Mandelbrot-Figuren generator auf Ihren PC, wenn Sie einen haben, ansonsten auf Ihr Tablett, Ihr Handy oder ihren iToaster, Ihren Fernseher und verbringen Sie Stunden damit. Mit einem einfachen Fingerspreizen oder einem Mausklick können Sie in jeden Winkel hineinzoomen und immer neue sich an und ab selbstähnlichen Strukturen entdecken, und dann wieder vollkommene Überraschungen.
All diese Bilder sind vollkommen gratis. Keine Tantiemen, Gott verlangt keine Tantiemen für sein Universum. Sie können es als Hintergrundbild auf Ihrem PC verwenden, auf Ihrer Homepage, oder auf eine Leinwand drucken lassen oder auf Ihr Bettzeug, Ihr T-Shirt, Ihr Kaffeehäferl oder Ihr Auto.
Wenn Sie im Umgang mit Computern und Online-Druckereien keine Erfahrung haben, schicken Sie mir hier im Formular unten eine Nachricht, ich kann Ihnen helfen, vergessen Sie ihre E-mail-Adresse nicht. Es wird Sie nichts außer die Produktionskosten bei der Firma Ihrer Wahl kosten. Gott verlangt wie gesagt keine Tantiemen oder Provision, ich auch nicht. Sie können das ersparte Geld für den Picasso einer karitativen Einrichtung Ihrer Wahl oder meiner Wahl spenden.
Sie sind zwar nicht der Schöpfer dieser Schönheit, das ist Gott oder die Mathematik oder sonstwer oder was; weder Sie, noch ich noch Mandelbrot. Es sind aber Sie, der das einzigartige Design unter Myriaden von Mandelbrotmustern gewählt hat. Es gehört Ihnen, ganz persönlich, so wie ein nach Ihnen benannter Stern.
